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关于多项式的整理
发布日期:2021-10-26 01:31    点击次数:177
多项式的四则运算:

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))

f(x)g(x)=g(x)f(x)

f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

整除:

带余除法: f(x)=g(x)h(x)+r(x) 余数除法:

r(x)=0 ,则 g(x)mid f(x) 如果

f(x)mid g_i(x),则 f(x)mid sum_{n=1}^{i}{(u_n(x)g_n(x)}) 如果

最大公因式:

若有 f(x)=g(x)h(x)+r(x) ,则 (f(x),g(x)=(g(x),r(x)) 如果是的话。

u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x) ,其中 u(x),v(x)in R(f(x),g(x))=d(x)

由此可证: (f(x)+g(x))=1 ,则 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 可以证明:

也可证 f_1(x)mid g(x),f_2(x)mid g(x),(f_1(x),f_2(x))=1 也可以证明。

f_1(x)f_2(x)mid g(x) 规则

因式分解:

f(x)=p_1(x)p_2(x)...p_s(x) , p_s(x)p_s(x) 为不可约多项式是不可约多项式。

f(x) 可以在有理数域分解,则其可在整数域分解如果能在有理数域分解,就能在整数域分解。

标准分解式: f(x)=cp_1^{r_1}...p_s^{r_s} 标准分解公式:

代数基本定理:每个次数 ge 1 复系数多项式在负数域中有一根代数基本定理:每阶复系数多项式在负数域有一个根。

复系数多项式的标准分解式: f(x)=a_n(x-alpha_1)^{l_1}(x-alpha_2)^{l_2}...(x-alpha_s)^{l_s} 复系数多项式的标准分解公式;

每个次数 ge 1 的实系数多项式在实数域都可以唯一的分解为一次因式与二次不可约因式的乘积每个次数的实系数多项式在实数域内可以唯一分解为主因子和次不可约因子的乘积。

重因式:

f(x)=sum_{i=1}^{n}{a_ix^i} ,则 f'(x)=sum_{i=1}^{n}{a_iix^{i-1}}

如果不可约多项式是 p(x)f(x)k 重因式,那么它是 f'(x)k-1 重因式如果不可约多项式是多重因子。

推论1:如果 p(x)f(x)k 重因式,那么 p(x)f(x),f'(x),f^{(k-1)}(x) 的重因式推论1:if的倍数因子。

推论2: p(x)f(x) 的重因式的充分必要条件是 p(x)f(x)f'(x) 的公因式推论2的共同因素:

推论3:若 f(x) 没有重因式,则 (f(x),f'(x))=1 推论3:如果

多项式函数:

余式定理: f(x)=(x-alpha)g(x)+f(alpha) 类型定理:

推论: alphaf(x) 的根,则 (x-alpha)mid f(x) 推论:

vartheta (f(x)),vartheta(g(x))le n ,但对 n+1 个不同的数 alpha_1.alpha_2...alpha_{n+1} 有相同的值,那么 f(x)=g(x) 如果

有理系数多项式:

高斯引理:两个本原多项式或本原多项式的乘积。

关于因式分解第二点的推论:若 f(x)=g(x)h(x)g(x) 是本原的, h(x) 是有理系数多项式关于因式分解第二点的推论:如果是有理系数多项式。

frac{r}{s}f(x) 的有理根, (r,s)=1 ,必有 s mid a_n,rmid a_0 ,特别的若 vartheta(f(x))=1 ,那么 f(x) 的有理根都是整根,而且是 a_0 的因子爇的因素

Eisenstein判别法:对于一个多项式 f(x) ,若:艾森斯坦判别法:对于多项式,如果:

1):pnmid a_n;

2):pmid a_{n-1},a_{n-2},a_{n-3},...a_0;

3):p^2nmid a_0

那么 f(x) 在有理数是不可约的那么有理数是不可约的。

多元多项式:

设在 P[x] 中,当 f(x_1,x_2,x_3,...x_n)ne 0 ,g(x_1,x_2,x_3,...x_n)ne 0 vartheta(f(x_i)g(x_i))=vartheta(f(x_i)),vartheta(g(x_i)) 设置在特定的位置

推论1:若 f_i(x)ne 0 ,则 vartheta(f_1f_2...f_i)=vartheta(f_1)... 推论1:如果

推论2:若 f(x_1,x_2,x_3,...x_n)ne 0 ,g(x_1,x_2,x_3,...x_n)ne 0 ,则 f(x_1,x_2,x_3,...x_n)g(x_1,x_2,x_3,...x_n)ne 0 推论2:如果

对称多项式:

对于任何一个 n 元对称多项式 f(x_1,...,x_n) 都有一个 n 元多项式, xi (y_1..y_n) 使得 f(x_1...x_n)=xi(sigma_1...sigma_n) 对任何人来说。

补充定理:

拉格朗日插值公式:

L(x)=sum_{i=1}^{n}{frac{b_iF(x)}{(x-a_i)F'(a_i)}}F(x)=prod_{i=1}^{n}{(x-a_i)}

Newton公式: s_k-xi_1s_{k-1}+xi_2s_{k-2}...(-1)^{k-1}xi_{k-1}s_1+(-1)^kkxi_k=0 , 1le kle n ;牛顿公式:;

s_k-xi_1s_{k-1}+...(-1)^nxi_ns_{k-n}=0 , kn